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トレーディングカードを大人買いする数学 (2)

 前回は、「ローゼンメイデン」のステッカード(いわゆるトレーディングカードの一種)を題材に、全36種類のカードが全て同じ確立で出現すると仮定した上で、重複カードの交換を行わずに、すなわち大人買いでコンプリートするには、平均で約150.3枚のカードを入手する必要があるとの結論に達しました。
 しかし実際には、全36種類のこのシリーズは、出現率の高い「レギュラー」27種類と、出現率の低い「スペシャル」9種類から構成されることが判明しました。いや、発売元であるエポック社のHPをちゃんと見ていれば簡単に分かったことなのですが。とにかく、前回の仮定が間違っている以上、計算をやり直さなければなりません。
 では、計算方法をご紹介します。
 基本的な考え方は、前回と同じです。入手したカードの種類の数ごとに、その時新規に入手したカードが重複カードである確立を計算し、その逆数の総和を算出します。
 ただし、今回は、2種類のシリーズを同時に入手するものとして考えます。つまり、全27種類のレギュラーカードのシリーズと、全9種類のスペシャルカードのシリーズとに分けて考えて、入手時のカードには2つのシリーズが交ざっていると捉えるのです。すると、1枚のカードを新規に入手した場合、そのカードはある確率でレギュラーカードであり、残りの確立でスペシャルカードであることになります。
 幸運なことに、スペシャルカードの出現率は、明確に示されています。商品のHPによると、3パックに1枚の割合でスペシャルカードが入っているとあります。1パックには4枚のカードが無作為に入れられておりますので、平均的には12枚のうち1枚がスペシャルカード、残る11枚がレギュラーカードということになります。言い換えれば、1枚のカードを新規に入手した場合、平均1/11枚のスペシャルカードと11/12枚のレギュラーカードが手に入ることになります。
 ここまで来ればあとは簡単です。前回と同じ式を使って、まずはレギュラーカード全27種類をコンプリートするために必要なカードの平均枚数を計算して見ましょう。
 Tr = 27/27 + 27/26 + 27/25 + ... + 27/2 + 27/1 = 約105.1枚
 ただし、実際には1/12のスペシャルカードが混ざっていますから、その分を考慮して、
 Tr′ = Tr / (11/12) = 約114.6枚
が、全27種類のレギュラーカードをコンプリートするために入手する必要があるカード総数の平均値です。このうち、
 Tr′ - Tr = 約9.6枚
が、図らずも入手できたスペシャルカードの平均枚数となります。
 次に、スペシャルカードをコンプリートするために必要なカードの平均枚数を計算します。
 Ts = 9/9 + 9/8 + 9/7 + ... + 9/2 + 9/1 = 約25.5枚
 ただし、先程レギュラーカードをコンプリートした際にすでに平均約9.5枚のスペシャルカードを入手していますから、
 Ts′ = Ts - (Tr′ - Tr) = 約15.9枚
だけを加えれば良いはずです。ここで、スペシャルカードの出現率が1/12であることを考慮すると、
 Ts″ = Ts′ / (1/12) = 約190.9枚
これだけのカードを入手する必要があることになります。
 まとめると、9種類のスペシャルカードと27種類のレギュラーカードをコンプリートするために入手するカードの総数の平均値は、
 Tt = Tr′ + Ts″ = 約305.5枚
となりました。前回の計算では、全36種類が同じ確立で出現する場合にコンプリートするために入手するカードの総数の平均値が約150.3枚でしたから、スペシャルカードの存在によって枚数が2倍強に跳ね上がったことになります。大人買いするとなると、カードが1枚当たり50円ですから、
 Tp = Tt × 50 = 約15,275円
となります。同じ予算があれば、アニメージュ誌上限定DOLL「スペシャルドール・真紅」が買えましたね。関係ないですけど。
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