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トレーディングカードを大人買いする数学 (1)

 先日、トレーディングカードにとうとう手を出してしまいました。理由は、私の大好きな「ローゼンメイデン」という作品の、しかも全36種類という比較的お手軽なシリーズだったからです(厳密にはカード状のステッカーで、商品名は「ステッカード」といいます)。その存在を知った時には発売から既にかなりの月日が経っていたので、急いで確率を計算したところ、重複カードの交換相手が見つからなくても、つまりはいわゆる「大人買い」をするにしても、平均約7,500円でこのシリーズをコンプリート出来るという結果が出ました。これなら何とか予算を確保できそうだ、ということで、生まれて初めてのトレーディングカード収集を決心したのです。
 ここでは、この計算方法をご紹介します。
 トレーディングカードは、購入時にはパッケージの中にどのカードが入っているかが秘密になっているため、集めたカードが増えれば増えるほど新しいカードが手に入り難くなります。言い換えれば、新規入手カードが重複カードである確立が高くなるということです。計算を簡単にするために、全てのカードが同じ確率で得られると仮定した上で、数式で書くと、
新規入手カードが入手済みカードである確率 = 入手済みカードの種類の数 ÷ シリーズの種類の総数
となります。
 例えば、半分まで集めたシリーズのトレーディングカードをもう1枚入手したとき、そのカードが未入手カードであるか入手済みカードであるかは、5分5分の確率となります。つまりこのとき、新規入手カードが未入手である確率は2分の1ですから、見方を替えれば、未入手のカードを1枚得るためには、平均で2枚のカードを新規に入手することになります。
 更に、残り1枚まで集めたシリーズのトレーディングカードをもう1枚入手したとき、そのカードが未入手である確率、つまり待望の最後の1枚である確率は、シリーズの種類の総数分の1となります。このとき、未入手のカードを1枚得る、つまりシリーズをコンプリートするためには、平均でシリーズの種類の総数と同じ枚数のカードを新規に入手することになります。
 このことを数式で書くと、
1枚の未入手カードを得るために新規に入手するカードの平均数 = シリーズの種類の総数 ÷ 未入手カードの種類の数
となります。
 この数式を使って、入手済みカードを1枚得る度に入手するカードの平均数を加え続けることで、全N種類のトレーディングカードをコンプリートするまでに入手するカードの総数T、つまり全入手カードの平均枚数を計算する式は、
トレーディングカードを大人買いする数式
となります。「Σ」の表現は、慣れないうちは難しく見えますが、実は1行目と全く同じ内容を短くまとめて表現しているだけですのでどうか安心して下さい。
 では、実際に計算して見ましょう。
 N = 36の場合:入手カードの総和の平均枚数T = 約150.3
 枚数なのに小数になっているのは、平均値を計算したからです。極めて運がよければ最低36枚を入手するだけでシリーズをコンプリートできるかもしれませんし、逆に1,000枚集めても最後の1枚が入手できないかもしれません。人によって色々なケースが考えられますが、統計的な平均値が約150.3枚というわけです。
 当然、150.3 – 36 = 114.3枚は重複カードですから、かなりの無駄が生じてしまいます。だから私はトレーディングカードには手を出したくなかったのです。
 これらの重複カードを無駄にしない方法が、他のコレクターとの交換(trading)というわけです。大人買いでコンプリートするのはやはり邪道なのであって、トレーディングカードはその名のとおり、交換を通じてコンプリートするように出来ていることが良く分かりますね。
 さて、冒頭でご紹介した「ローゼンメイデン」のトレーディングカードは、4枚一組200円なので、1枚あたり50円として、約150.3枚で約7,500円、という計算になるわけですが、実際に「ローゼンメイデン」のトレーディングカードを購入したところ、全36種類のうち9種類は「スペシャル」、いわゆる「レアカード」であることが分かりました。今までの計算は、「全てのカードが同じ確率で得られると仮定した上」で行いましたから、レアカードの存在が考慮されていません。次回は、レアカードがある場合の計算方法をご紹介します。
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